Den första satsen Pugh bevisar när han väl definierar Riemann-integralen är att integrerbarhet antyder begränsning. Det här är sats 15 på sidan 155 i min utgåva. Detta visar att man först måste komma överens om definitioner.
Antyder Riemann integrerbar begränsad?
Sats 4. Varje Riemann-integrerbar funktion är begränsad.
Är ogränsade funktioner integrerbara?
En ogränsad funktion är inte Riemann integrerbar. I det följande kommer "integrerbar" att betyda "Riemann integrerbar, och "integral" kommer att betyda "Riemann integral" om inte annat uttryckligen anges. f(x)={ 1/x om 0 < x ≤ 1, 0 om x=0. så de övre Riemann-summorna av f är inte väldefinierade.
Är en Lebesgue-integrerbar funktion begränsad?
Mätbara funktioner som är avgränsade motsvarar Lebesgue-integrerbara funktioner. Om f är en begränsad funktion definierad på en mätbar mängd E med ändligt mått. Då är f mätbart om och endast om f är Lebesgue-integrerbar. … Å andra sidan är mätbara funktioner "nästan" kontinuerliga.
Hur vet du om en funktion är Lebesgue-integrerbar?
Om f, g är funktioner så att f=g nästan överallt, så är f Lebesgue-integrerbar om och endast om g är Lebesgue-integrerbar, och integralerna av f och g är samma om de finns.
