Låt P vara en Sylow p-undergrupp av G. … Om G är enkel, så har den 10 undergrupper av ordning 3 och 6 undergrupper av ordning 5. Men eftersom dessa grupper är alla cykliska av prime order, alla icke-triviala element av G ingår i högst en av dessa grupper.
Är P-grupper cykliska?
Den triviala gruppen är den enda gruppen av order ett, och den cykliska gruppen C p är den enda gruppen av order p.
Är undergrupper cykliska?
Sats: Alla undergrupper av en cyklisk grupp är cykliska. Om G=⟨a⟩ är cyklisk, då för varje divisor d av |G| det finns exakt en undergrupp av ordningen d som kan genereras av a|G|/d a | G | /d. Bevis: Låt |G|=dn | G |=d n.
Är P Sylow-undergrupper normala?
Om G har exakt en Sylow p-undergrupp, måste den vara normal från Unik undergrupp av en given order är Normal. Antag att en Sylow p-undergrupp P är normal. Då är det lika med sina konjugat. Enligt den tredje Sylow-satsen kan det alltså bara finnas en sådan Sylow-p-undergrupp.
Är sylow P-undergrupper abeliska?
Vi bevisar att Sylow p-undergrupper i en finit grupp G är abelian om och endast om klassstorlekarna för p-elementen i G alla är coprime till p, och, om p ∈ { 3, 5 }, är graden av varje irreducerbart tecken i det huvudsakliga p-blocket i G coprime till p.
